Einführung in die Variationsrechnung

Hauptseminar Partielle Differentialgleichungen (S2B2, SS 2016)
— Einführung in die Variationsrechnung

 

Vorbesprechung am Freitag, den 12.2.2016, 14 ct
Seminarraum 0.006 (Endenicher Allee 60)

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Zeit: Montag, 14 ct – 16 Uhr, 11.4.-18.7.2016
Ort: Seminarraum 0.006, Mathematisches Institut (Endenicher Allee 60, 53115 Bonn)

Zusammenfassung: Die Variationsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich im 18.  Jahrhundert entwickelt hat und mit der Minimierung von Funktionalen beschäftigt. Klassische Fragestellungen kommen aus der Physik und Geometrie, und beschäftigen sich z.B. mit der schnellsten Verbindung zweier Punkte. Ein Variationsproblem wird zunächst in sog. Euler-Lagrange-Gleichungen umgeschrieben, und die Suche von Minimierern mit der Lösung von Differentialgleichungen gleichgesetzt. Historisch wurde hierzu zunächst die Existenz eines Minimums angenommen, was nicht immer der Fall sein muss (Gegenbeispiel von Weierstraß). Die moderne direkte Methode beweist die Existenz einer minimierenden Funktion und verwendet konkrete Konstruktionsmöglichkeiten von Minimalfolgen.
Im Seminar werden wir uns vor allem mit der eindimensionalen Variationsrechnung beschäftigen und dazu die entsprechende Theorie inkl. funktionalanalytischer Hilfsmittel erarbeiten. Zur Veranschaulichung dienen uns eine Vielzahl von Beispielen.

Zielgruppe: Studierende im Bachelorstudium ab dem 3. Semester

Vorkenntnisse: empfohlen: Grundvorlesungen Analysis und Lineare Algebra
nützlich, aber nicht notwendig: Funktionalanalysis, Gewöhnliche Differentialgleichungen

Prüfung: schriftliche Ausarbeitung und Seminarvortrag zu einem vorgegebenem Thema

Literatur:
[1] P. Blanchard und E. Brüning, Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch, Springer-Verlag, Vienna, 1982.
[2] G. Buttazzo, M. Giaquinta und S. Hildebrandt, One-dimensional variational problems. An introduction, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 15, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998.
[3] B. Dacorogna, Direct methods in the calculus of variations, second edition, Applied Mathematical Sciences, vol. 78, Springer, New York, 2008.
[4] B. Dacorogna, Introduction to the calculus of variations, third edition, Imperial College Press, London, 2015.
[5] H. Kielhöfer, Variationsrechnung. Eine Einführung in die Theorie einer unabhängigen Variablen mit Beispielen und Aufgaben, Vieweg-Teubner-Verlag Wiesbaden, Wiesbaden, 2010.
[6] B. van Brunt, The calculus of variations, Universitext, Springer-Verlag, New York, 2004.

 


Ablauf

 

Im Seminar behandeln wir im Wesentlichen drei Themenbereiche mit folgender Literatur:

  • Euler-Lagrange-Gleichung: [5] Kapitel 1, ergänzend ggf. [4] Kapitel 2, [6], Originalliteratur
  • Variationsprobleme mit Nebenbedingungen: [5] Kapitel 2, ergänzend ggf. [6], Originalliteratur
  • Direkte Methoden: [5] Kapitel 3, [4] Kapitel 1, 3 und 4, ergänzend ggf. [3], [2], [1]

Plan:

11.4. Überblick über Variationsrechnung und Themen
18.4. Funktionenräume, erste Variation, Fundamentallemma [FK]
25.4. Euler-Lagrange-Gleichung, Beispiele und Gegenbeispiele [WB]
2.5. Beispiel von Jacob Bernoulli, (natürliche Randbedingungen) [WB]
23.5. Isoperimetrische Nebenbedingung, Problem der Dido [FK]
30.5. Holonome und nicht holonome Nebenbedingung, Beispiele
6.6. Noethers Theorem, Überblick über Anwendungen in Physik [MM]
13.6. 2-Körper-Problem (ggf. 3KP) [MM]
4.7. L^p Räume, Sobolevräume, konvexe Analysis [PT]
18.7. Direkte Methoden (skalarer Fall) [PT]

 


Vorbereitung

 

Es soll eine schriftliche Ausarbeitung (ca. 2-3 Seiten mit zentralen Aussagen mit Beweisskizze, Definitionen, Beispielen, Literatur) und ein Tafelvortrag (5-10 min Motivation + 40-70 min Vortrag + 10-15 min Diskussion) vorbereitet werden.

Zur Ausarbeitung des Vortrags folgendermaßen vorgehen und mind. 2 Termine mit mir vereinbaren:

  • Einlesen in Thema
  • 1. Termin (ca. 3-4 Wochen vor Vortrag) zur Absprache des Inhalts
  • Vorbereitung des Vortrags und der Ausarbeitung
  • 2. Termin (ca. 1-2 Wochen vor Vortrag) zur Klärung von Details

In die Benotung fließt sowohl der Seminarvortrag als auch die weitere aktive Mitarbeit im Seminar ein!

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